Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 4 & - 2 \\ - 5 & 0 & - 2 \end{array}]$

Étape 1

Find the determinant.

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Étape 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Étape 1.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Étape 1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (4 \cdot - 2 + 0 \cdot - 2) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$1 (- 8 + 0 \cdot - 2) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$1 (- 8 + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $- 8$ et $0$ .

$1 \cdot - 8 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (- 3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 2)) + 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (6 - (- 5 \cdot - 2)) + 0$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot - 2)$ .

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Étape 1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (6 - 1 \cdot 10) + 0$

Étape 1.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (6 - 10) + 0$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $10$ de $6$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 4 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 - 2 \cdot - 4 + 0$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 8 + 8 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0 + 0$

Étape 1.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 2

There is no inverse because the determinant is $0$ .